此帖为沈括题跋唐阎立本《十八学士于志宁书赞卷》（局部）
宋 《卢鸿草堂十志图》（局部）
摄影 马羽洁
编者按
2025年春节之前，算力、算法好像还只是在大模型产业流行的专业术语。新春伊始，杭州“头雁”先飞，一鸣惊人。现象级新锐科创企业矩阵引发关注，“杭州现象”不胫而走。
如今，当我们置身于第三次科技革命浪潮之中，一方面，人人关心大模型技术及其应用创新会对我们的工作生活产生怎样的影响，另一方面，我们不妨重新思量、回溯数学之美。
2019年11月26日，联合国教科文组织宣布将每年的3月14日定为“国际数学日”，昵称为“π日（Pi Day）”，以凸显数学在日常生活中的美丽与重要。
π，这个被一直关注的无理数，是圆周与直径的比值，也汇聚了不同时代数学家的研究和计算。
当我们将目光投向南宋临安，就会发现数学的韵律早已融入这座城市。宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中，以诗歌形式记录了勾股定理，“勾三股四弦五斜，方田商高本此基”；朱熹讲学，常以数学之理阐释儒家经典。
本期栏目在数学中做文章，感受南宋文化中数学与人文交相辉映的魅力。
π·科创密码
@沈括：
一部《梦溪笔谈》，人文与科学共生
陈曼冬
沈括，在我心里种下了种子，不仅是因为我写了《科学文明坐标：沈括》这本书。
北宋天圣九年（1031），沈括出生在杭州（关于沈括的出生年代也一直有争议，此处用的是胡道静先生的观点）。这位被李约瑟盛赞为“中国科学史上最卓越人物”的奇才，生动诠释了“跨界创新”的深刻内涵。
在万春圩工程，沈括开创性地提出“圩田五说”，运用科学的理念与方法，成功改造江南湿地，使之成为适宜农耕与居住的沃土；在主持司天监工作期间，他大胆革新浑仪，通过精密的测算，精准提出月球公转轨迹的“交点退行”规律，在天文学领域留下浓墨重彩的一笔；他将军事战略著作《虎钤经》中的理念转化为水利工程智慧，也将数学思维巧妙地运用到天文观测之中，实现了领域间的跨界融合与创新发展，实现了知识的跨界应用。
沈括的学识触角广泛延伸至地质学、光学、声学等多个学科领域，多学科深度融合的思维模式，与现代科技创新所倡导的“交叉创新”理念不谋而合，彰显出超越时代的前瞻性。
当同时代的同僚们还在书房中高谈阔论“蛟龙作祟”等荒诞不经的言论时，沈括毅然亲赴汴河工地，与数万民工并肩作战，实地测绘地形，以实践探索真知；为了验证石油的潜在价值，他奔赴陕北，建立起古代最早的“能源实验室”，展开一系列实验与研究。这种脚踏实地的实干精神，恰似今日杭州创业者从狭小出租房起步，一路拼搏成长为行业独角兽的奋斗历程。
而《梦溪笔谈》，也是对人文与科学共生这一概念最好的诠释。那一年，58岁的沈括归隐润州，在梦溪园潜心著书。他写下“所与谈者，唯笔砚而已”，彼时的梦溪园是他的精神家园与知识创作的源泉。
“笔谈”的书写方式本身就是人文科技共生的隐喻：以传统文人札记体例承载科学发现，用典雅文言表述数学公式（如会圆术），在考据训诂中融入实证精神。这种知识生产方式打破了“重道轻器”的桎梏，使技术经验获得与经典同等的书写尊严，让科学探索始终扎根于人本关怀的土壤。
或许杭州科创精神的基因密码在沈括那时就开始设置了吧——
在敬畏自然、尊重规律的基础上，勇敢突破边界，不断探索未知；在传承人类文明的深厚底蕴中，积极开拓创新，努力创造更加美好的未来。
千年时光转瞬即逝，如今的杭州已然崛起了声名赫赫的“六小龙”，它们以数字技术为笔，重新勾勒世界的轮廓。从钱塘江畔诞生的古代科学巨匠，到数字经济浪潮中勇立潮头的弄潮儿，杭州的科创精神穿越漫长的时空隧道，流淌在城市的血脉之中。
而当这个春天我们热烈地谈论着AI，谈论着科技创新的时候，或许在某个平行时空里，沈括正面带微笑，静静注视着这一切。
π·游城郭
@秦九韶：
一座桥，为纪念《数书九章》
朱光明
我们很难想象，没有桥的江南是什么样子。江南的桥，很美，这种气质源自文化的优雅与底蕴。道古桥就是其中的一座。
去年夏天，一个午后，我骑车去黄龙社区走访的路上，经过天目山路旁的一座桥，上面写着“道古桥”三个大字。这座桥的名字古色古香，我想肯定有不为人知的故事。
难得周末有空，我又想到了这座桥，经查资料，我了解到，这座桥为纪念南宋数学家秦九韶（1208-1268）而建。
他会造桥
秦九韶，字道古，生于普州（今四川安岳县），与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他是一位难得的全才，除了数学之外，他对星象、音律、诗词、弓、剑、营造等均有精深的研究与探索。秦九韶的代表作《数书九章》，是一部经典的数学著作。
秦九韶出生于书香之家，祖父秦臻舜于绍兴三十年（1160）进士及第，官至通议大夫，属于高级文官。父亲秦季槱（音为yǒu），绍熙四年（1193）进士及第，任显谟阁直学士（显谟阁是藏书楼，专藏神宗御制、御书，后以此为名，授予文官一定的级别，也是高级文官）。
嘉定十三年（1220），秦季槱来到临安，出任工部郎中，秦九韶随父来到临安，“因得访习于太史，又尝从隐君子受数学”，眼界大开。
端平元年（1234）冬天，秦九韶担任国史院校正，有机会进一步饱览藏书，知识储备更为丰富。嘉熙二年（1238），秦季槱去世，秦九韶为父亲奔丧途中，见到百姓往来西溪河两岸实为不便，他想办法筹集银两建造了一座桥，名叫西溪桥。
元朝初年，著名数学家朱世杰游历天下，来到杭州，发现了这座桥，了解了其背后的故事，把它命名为道古桥，以纪念秦九韶。
后因西溪路扩建改造，原先的桥和溪流成了平地。现在我们杭州的道古桥，距古桥遗址不远，由浙江大学教授蔡天新倡议命名，并请中科院院士王元先生题字。虽然这之间相隔了数百年，但大家对秦九韶数学贡献的认识是一致的。
他回答生活生产的
81个实际问题
秦九韶是学霸，文理兼修，他在二十多岁就考中了进士，仕途得意，先后担任县尉、通判、参议官、州守、寺丞等职务。政务之余，秦九韶钻研自然科学知识，思想观念较为通达。
在传统社会，数学一类的知识常被视为“小技”“小道”，没有得到足够的重视。秦九韶认为数学在日常生活中发挥着重要作用。对于古人来讲，无论出门买东西，还是耕地，或是算命，看相，因往知来，预言吉凶，阴阳八卦，都能用到它。这些日用的“经世务，类万物”，还只能算是“小神通”，它的“大神通”则可以“通神明，顺性命”。因此不能用“浅近”来看待数学。
淳祐四年（1244）十一月，因母亲离世，秦九韶回湖州奔丧，守孝三年。秦九韶回忆往日所学，于淳祐七年（1247）九月写出《数书九章》。
秦九韶在自序中写道：“荏苒十祀，心槁气落，信知夫物莫不有数也，乃肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉。”这是说，遭遇艰险忧患，不觉已有十年，心灰意冷，但相信世间万物都蕴含着数学的规律，于是充分利用空闲时间，广泛向有才学的人请教，深入探索，才有了初步的成果。秦九韶不敢有太大的奢望，希望此书“可备博学多识君子之余观”。
此书完成后，长期以抄本的形式流传，收录《四库全书》子部天文算法类。
《数书九章》分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市物，共9大类，每类9个问题，共81个问题。这些归类，符合当时的生活生产实际，比如天时类，涉及历法计算、降水量，这些想明白了，种地耕田才有针对性。赋役类涉及税收，钱谷类涉及粮谷转运、仓窖容积，军旅类涉及营盘布置、军需供应，市物类涉及交易、利息，均与社会日常密切相关。
他会列方程，也会解方程
我读书时，有段时间数学成绩平平，我的语文不错，形象思维相对发达，但逻辑思维与推理能力则略微逊色一些。读数学类的图书，常提不起兴趣，倒是读了不少数学家的传记。故事读得多了，对数学的兴趣慢慢就上来了，加上题海战术，我的数学竟然也能名列前茅了。
记得当时的数学老师说，祖冲之离我们已经一千多年了，那个时候没有计算机，也没有什么工具，能算出圆周率，将其推算至小数点后7位数，真是了不起。
学术的传承不是一蹴而就的，是一个长期积累的过程，对于数学问题的解决亦是如此。有时候，一代人解决不了，需要下一代的努力，或者数代、数十代人的接力完成。
我们今天列方程、解方程，其实古人在千年前就在做这样的数学题了。从祖冲之父子开始研究二、三次方程，到唐代王孝通在三次方程解法上有突破，以后更推广到高次方程。秦九韶总结了前人的方法，整齐而有系统地应用到任意次方程的有理或无理根的求解上去。西方数学家霍纳1819年才研究出这样的方法，秦九韶比他早了500多年。
《孙子算经》提出了“物不知数”的命题，秦九韶给出理论上的说明，定名为“大衍求一术”，简而言之，就是将问题转化为一个整数除法问题，通过不断求余数，找到满足条件的整数解。德国数学家高斯于1801年建立同类理论，比秦九韶晚500多年。
一个人在一生中能取得一方面的成绩已实属不易，更何况秦九韶是在执政之余取得如此成就，值得我们珍视。
美国著名科学史家乔治·萨顿称秦九韶是那个时代，以至一切时期最伟大的数学家之一。在秦九韶的故乡四川安岳，建了一座秦九韶纪念馆，展示秦九韶的著作和相关研究资料，这也成为让中外数学家向往的地方。
π·谈音律
@姜夔：
一本《白石词》，
又闻十二律音
郭海涛
在古代中国，礼乐是核心的文化要素之一。《周礼》曾这样描述音乐的力量，“以礼乐合天地之化，百物之产，以事鬼神，以协万民，以致百物。”《宋史·律历志》也曾讲道，最神秘的音乐其实是最奇妙的数学结合，“（乐）以其相生损益，数极精微，非聪明博达，则罕能详究”。
写出“二十四桥仍在，波心荡、冷月无声”千古名句的著名南宋词人姜夔，也是著名的音乐家。收录在《白石词》的80多首作品中，有17首配有曲谱。
若在今日，姜夔去参加歌曲创作大赛，说不定也能一举夺魁。
管长、丝弦，一音映一数
美妙音乐的背后是弦上有序齐整的数列，这是东西方文化的共识。古人用竹管来定音，最标准的测音调音设备就是十二枚律管。先制作一根九寸长的黄钟律管，在一个八度音程里生成十二个音阶。宫、商、角、徵、羽、变宫、变徵七个音阶中插着五个音，类似于风琴的七个白键之间插入五个黑键，这就是著名的十二律。
八百多年前，还没有“米”的定义，九寸长的黄钟律管，其实是九十颗黑黍叠加后的长度。北宋末年，还曾按照徽宗的手指长短设定律管的长度，这听起来是不是很任性？
除却管长，琴弦的密度和张力也是决定丝弦音高的因素，姜夔敏锐地觉察到这点，在《大乐议》里，他强调弦的缓急（张力）、燥湿（密度）状态影响了琴、瑟的音高，这种关系被四百年后梅森（Mersenne）公式精确归纳——弦振动的频率与弦长成反比；弦振动的频率与弦张力的平方根成正比；弦振动的频率与弦直径成反比；弦振动的频率与弦的质量密度的平方根成反比。
谱曲、赏乐，从有序到转调
“和”是音乐与数学的共同底色。古希腊毕达哥拉斯以为，至美和谐的音乐、完美对称的圆、整齐有序的数列，都是横贯全部宇宙和谐的象征。山川异域，风月同天。大禹时期的乐官夔，是我国历史上有书可寻的最早的音乐家，他也以为“诗言志，歌永言，声依永，律和声，八音克谐，无相夺伦，神人以和”。
姜夔的“夔”字与乐官“夔”同字，也许，这注定了他与音乐、与“和”的不解之缘。他在其音乐理论著作《大乐议》里论述着各乐器的特色，总结着协调的真谛——“又琴、瑟声微，常见蔽于钟、磬、鼓、箫之声。匏、竹、土声长，而金石常不能以相待，往往考击失宜，消息未尽。”他俨然是一位高超的指挥家，精心平衡着音色、音调、音量迥异的各样乐器，完美地调度着乐队的演奏节奏和旋律。有序、对称、整齐、神秘，音乐和数学有着一样的灵魂。
“和”不仅是平衡，还蕴含着开放和包容。当时繁复的燕乐成为时尚，临安人尤其喜欢琵琶、觱篥（音为bì lì）伴奏的北乐和胡乐。作为天生乐者和高段位的观众，姜夔一面尽情吮吸着市井间跳动的音符，一面冷静品鉴着这些来自北方异域的乐器，“谁家羌笛声声怨”。
“和”并非守旧，姜夔还擅长作宫调相犯的曲子。所谓犯，类似西洋音乐的转调，通过音阶中伴音关系的推移来丰富乐曲的变化。宫廷乐师演奏他创作的《凄凉犯》后也连连点赞，可知其韵律之美。
寻谱、写歌，“意到语工”
“嗟古音之寥寥，虑雅词之落落。”当时雅乐式微，姜夔行走江湖，探古访幽，奋力捡回那些失传的韶乐。功夫不负有心人，他先在长沙祝融峰上寻得商调《霓裳羽衣曲》十八阕三十六遍，后又在金陵杨万里的官邸中邂逅一位熟悉的琵琶乐师，寻回失传已久的琵琶四曲之一的《醉吟商》，并将其译成双声曲谱，一切若有天助。
姜夔通过自制曲来重振古音。他自制的《角招》《徵招》《越九歌》等曲，力图还原舜时雅乐的面貌。他的音乐歌词清丽而简约、旋律清空而正雅、意境平和而自然，散发着浓浓古风。
完美的数学理论不免有缺憾（如π等无理数），姜夔的人生也如此。南宋淳熙至嘉定间，他是个鼎鼎大名的跨界全才，诗词、文章、音乐样样精通，且每样才华都有众多拥趸，他的后援团有两府执政谢深甫、叶适，“文坛大佬”范成大、杨万里、辛弃疾、萧德藻和“学界大咖”朱熹等，虽然坐拥“泼天流量”，却屡屡被命运冷落。
晚年的姜夔奔波于浙东、嘉兴、金陵等地，以鬻（音为yù，意为卖）文制曲为生，收录在《白石词》的80多首作品中，有17首配有曲谱。
“能唱犯声歌，偏精变筹义。”这是唐代诗人元稹笔下所描述的精通音乐和算学的学霸，像是我们从诗词与古乐中读到的姜夔——虽然他手里没有拿着算筹，但是他的音乐和生活态度，契合着数学的精准、和谐和简约，也许，这才是他一生最好的作品，“意到语工，不期于高远而自高远”。